Matemática

Razões e Proporções

A razão entre dois números a e b é o quociente do primeiro pelo segundo:

Quando temos uma igualdade entre duas razões temos uma proporção: 

 onde a e d são chamados de meios e b e c de extremos.

Propriedade Fundamental da Proporção:    

Propriedade da Soma:  

Propriedade da Diferença: 

   

     Razão entre dois segmentos

Toda razão entre dois segmentos, deve ter segmentos de  mesma unidade.

Se a razão for entre números racionais, a razão será chamada de comensurável (pode ser medida). Entretanto se a razão for entre números irracionais, a razão será chamada de incomensurável (não pode ser medida).

                                            Segmentos Proporcionais

               

                                             

      Feixe de Retas Paralelas

Se há 3 ou mais retas paralelas em um espaço, chamamos de feixe de retas paralelas. Se esse feixe for cortado por uma reta, essa reta é chamada de transversal.

Teorema de Tales:

Quando 3 retas paralelas são cortadas por duas transversais, os segmentos determinados pelas transversais serão proporcionais.

Teorema de Tales nos triângulos:

 

Teoria da bissetriz interna de um triângulo

A Bissetriz separa um ângulo em dois lados congruentes. Além disso, toda a bissetriz tocará no lado oposto, ao vértice de sua origem e separará o lado tocado em dois segmentos proporcionais.

Figuras semelhantes

Duas figuras serão semelhantes se seus ângulos forem congruentes (de mesma medida) e seus lados correspondentes forem proporcionais. OBS: podemos trocar os meios, ou os extremos

Podemos simplificar uma razão, encontrando a metade, além de podermos cortar incógnitas iguais

Outras propriedades de semelhança entre polígonos:

·         Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual à razão entre qualquer dos lados, ou elementos lineares (diagonais, etc..) corespondentes.

·         A razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os lados, perímetros ou elementos lineares correspondentes desses mesmos polígonos.

·         Em figuras tridimensionais semelhantes, a razão entre seus volumes é igual à razão ao cubo de seus lados, perímetros ou elementos lineares correspondentes.

Semelhança de triângulos

Quando traçamos duas ou mais transversais em um triângulo, obtemos dois triângulos semelhantes. Casos de semelhança de triângulos:

     





 ·   Caso AAA – Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, o terceiro ângulo correspondente obrigatoriamente também será congruente (pois num triângulo a soma dos 3 ângulos é igual á 180˚). Sendo os 3 ângulos congruentes os triângulos serão semelhantes.

       ·  Caso LAL, se em dois triângulos há dois lados correspondentes proporcionais e um ângulo congruente, então os triângulos serão semelhantes.

      ·   Caso LLL, se em dois triângulos, a medida dos seus 3 lados correspondentes forem proporcionais, então os triângulos serão semelhantes.

Nos triângulos, podemos perceber quais são os lados correspondentes, sabendo que o maior ângulo é oposto ao maior lado e o menor lado é oposto ao menor ângulo.

OBS: Em matemática o sinal ~, significa que duas figuras são semelhantes.

Numa fração, quando há operações de multiplicação ou divisão (não vale em + ou -) podemos simplificar um denominador com um numerador e o resultado multiplicar pelo outro denominador como, por exemplo:     

Se quiser, deixar a razão apenas contendo números inteiros, se pode, por exemplo, multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número.

Nos triângulos retângulos a hipotenusa é oposta ao ângulo reto.

Fórmulas dos produtos notáveis:

(a + b)²= a² +2ab + b²

(a – b)² = a² -2ab + b²

(a + b) (a – b) = a² - b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(-a – b)² = (a + b)²

(-a + b)² = (a – b)²

(-a + b) (a + b) ou (a + b) (-a + b) ou (a + b) (a + b) = b² - a²

(x + p) (x + q) = x² + (p + q) x + p . q

(x - p) (x - q) = x² + (p - q) x + p . - q

Aproximação:

Por até 2 décimos, devemos dividir até 3 décimos, para ver se o próximo número é maior ou menor que 5. Se o número for menor, 8,333. Se deixa como está 8,33. Se for maior 8,338 se acrescenta mais um número no segundo décimo, 8,34. Se o terceiro número for 5 se deixa como está 8,335 = 8,33.

Formulas:

A= B sobre C, nesse caso, não se pode passar B multiplicando A, pois quem está dividindo é C, e não B.

Unidades e medidas:

·         De volume:

ml, cm ³, litro

1 litro = 1000 ml

1 litro = 1000 cm ³

1 cm ³ = 1 ml

·           De massa:

Kg, g

1 Kg = 1000 gramas

1 grama = 0,001 kg

1 tonelada = 1000 kg

·         De comprimento:

1 cm = 10 mm

1 dm = 10cm

1 m = 10 dm

1 dam = 10m

1 hm = 100m

1 km = 1.000 metros

Geometria:

Área de um trapézio: sendo h – altura, B – base maior e b – base menor

Área de um triângulo:

Área de um losango: sendo D – diagonal maior e d - diagonal menor

Número de diagonais de um polígono de n lados:

Teorema de Pitágoras:

Em um triângulo retângulo, o quadrado do maior lado, a hipotenusa (a²) = a soma dos quadrados dos menores lados, os catetos, (b² + c ²).

OBS: em um triângulo equilátero sua área, sendo L - lado é:

Os triângulos são classificados quanto aos lados: escaleno (possui todos os lados de medidas diferentes), isósceles (possui dois lados de medidas congruentes) e equiláteros (possui todos os lados com medidas congruentes). E quanto aos ângulos: acutângulo (possui todos os ângulos com medidas menores que 90˚), retângulo (possui um ângulo de 90˚) e obtusângulo (possui um ângulo que mede mais do que 90˚).
Notação Cientifica:

Potencias de base 10, se deve colocar quantos zeros indicar o expoente, não sendo necessário multiplicar um por um termo, por exemplo: 10 elevado á 5= 100.000. No caso, se houver potencias de base 10 e expoentes negativos: se faz a mesma coisa agora, o primeiro zero fica sendo o único inteiro, e os outros, passam a vírgula. Exemplo 10 elevado á -5 = 0,00001.

1,7 . (10 elevado á 10)= 17.000.000.000. Se você sabe apenas o número 17.000.000.000, e quer transformá-lo para a noção cientifica, a base deve ir de 1 á 9,99, portanto fica 1,7, . 10 elevado á quantas casas tiver depois da vírgula, assim serão 10 casas. 1,7  .  10 elevado á 1,99. O mesmo se aplica á números não inteiros: 0,01= 1 . 10 elevado á -2, pois são duas casas depois da vírgula, e nesse caso o expoente é negativo, pois está indo para esquerda e não direita, como no caso anterior.

Relações Métricas nos Triângulos retângulos:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida do cateto é igual a hipotenusa multiplicada pela projeção desse cateto (b2=am) (c2=na).

·      Em todo triângulo retângulo a altura2 = ao produto das projeções do cateto (h2 = mn).OBS: a hipotenusa é igual a soma dos catetos.

·      Em todo triângulo retângulo a hipotenusa multiplicada pela altura é igual ao produto dos catetos (ah = bc).

·      Em todo triângulo retângulo a hipotenusa2=  a soma dos catetos2 (a2 = b2 + c2).

Aplicações do Teorema de Pitágoras

·    Em todo triângulo equilátero

·    A diagonal do quadrado será o lado multiplicado pela raiz quadrada de 2, já que é um triângulo retângulo notável (tem dois ângulos de 45 graus e um de 90).

·    Diagonal de um paralelepípedo retângulo.

·    Diagonal de um cubo

Os Ternos Pitagóricos

São 3 números naturais inteiros que satisfazem o teorema de Pitágoras.

Classificação dos triângulos conhecendo as medidas de seus lados:

·    Triângulo Retângulo: satisfaz o teorema de Pitágoras, ou seja: a (hipotenusa) 2= b(cateto)2 + c(cateto)2

·    Triângulo Obtusângulo: a2> b2 + c2

·    Triângulo Acutângulo: a2< b2 + c2

OBS: Condição de existência:

·    Para que um triângulo exista, a soma dos lados menores deve ser maior que a medida do lado maior.

·    A soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser 180°.

·    O ângulo maior é oposto ao maior lado e o ângulo menor é oposto ao menor lado.

Posições relativas entre Circunferências e retas

·    A posição relativa da reta será externa, quando não tiver elementos comuns com a circunferência.

·    A posição relativa da reta será tangente se tiver um único ponto comum com a circunferência.

·    A posição relativa da reta será secante quando tiver dois pontos comuns com a circunferência. OBS: o diâmetro é a maior corda em uma circunferência.

Relações métricas entre as retas e as circunferências:

·    Relações entre cordas que se cruzam: nesse caso, duas retas serão semelhantes, pois compartilharão um arco comum.

·    Relações entre secantes: também haverá semelhança, pois as retas compartilharão um mesmo arco.

·    Relações entre tangentes e secantes: nesse caso a abertura da tangente elevada ao quadrado é igual á proporção do segmento da secante.

Trigonometria

Em uma rampa teremos 3 elementos: o percurso, o afastamento e a altura. O índice de subida será a relação entre a altura e o afastamento, quanto maior for o resultado dessa razão, maior será a inclinação (medida do ângulo) do triângulo. OBS: para comparar razões temos que igualar os denominadores. Se a angulação de um triângulo for a mesma, o índice de subida será constante (o mesmo). Em relação a determinado ângulo, temos o cateto oposto e o cateto adjacente, que vai variar de ângulo para ângulo.

·    A tangente de um ângulo é igual ao índice de subida, entretanto, é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente desse ângulo. OBS: se a tangente é 1, a inclinação será de 45° sempre. Além de que se a hipotenusa de um triângulo é 5, a base é 4, a altura é obrigatoriamente 3. 

·    O Seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto desse ângulo e a hipotenusa.

·    O Coseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente desse ângulo e a hipotenusa.

Relações entre Seno, Coseno e Tangente

·    Relação Trigonométrica Fundamental: Em qualquer triângulo retângulo, o seno de um ângulo2 + o coseno desse ângulo2 = 1

·    Em todo o triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é igual a razão entre o seno e o coseno desse ângulo.

·    Se dois ângulos forem complementares (ou seja, a soma dos dois será igual à 90°), situação que ocorre em todos os triângulos retângulos, o seno de um desses ângulos é igual ao coseno do outro ângulo. E a tangente de um desses ângulos é o inverso da tangente do outro ângulo.